Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 100]

Задача 61327 (#09.077)

Тема:

[

Производная и касательная

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что касательная к графику функции f (x), построенная в точке с координатами (x₀;f (x₀)) пересекает ось Ox в точке с координатой

x₀ - $\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61328 (#09.078)

Темы:	[	Итерации	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f (x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле

x_{n + 1} = x_n - $\displaystyle {\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$ ,

(начальное условие x₀ следует выбирать поближе к искомому корню).
Докажите, что для функции f (x) = x² - k и начального условия x₀ > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к $\sqrt{k}$ , то есть $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = $\sqrt{k}$ .
Как будет выражаться x_{n + 1} через x_n? Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61329 (#09.079)

[Метод Ньютона и числа Фибоначчи]

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Итерации	]
	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Цепные (непрерывные) дроби	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Применим метод Ньютона (см. задачу 61328) для приближённого нахождения корней многочлена f(x) = x² – x – 1. Какие последовательности чисел получатся, если
а) x₀ = 1; б) x₀ = 0?
К каким числам будут сходиться эти последовательности?
Опишите разложения чисел x_n в цепные дроби.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61330 (#09.080)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p² - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:
а) y₀ = 0, y_{n + 1} = ${\dfrac{q}{p-y_n}}$ (n $\geqslant$ 0);
б) z₀ = 0, z_{n + 1} = p - ${\dfrac{q}{z_n}}$ (n $\geqslant$ 0).
Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y*, z^* и корнями уравнения x² - px + q = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61331 (#09.081)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Предположим, что цепные дроби сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена x² – px + q = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328): x_n+1 = x_n – = . Докажите, что если x₀ совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x₁, x₂, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 100]