Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 66]

Задача 58029 (#19.049B1)

Тема:

[

Композиции гомотетий

]

Сложность: 3
Классы: 9

Пусть H₁ и H₂ — две поворотные гомотетии. Докажите, что H₁oH₂ = H₂oH₁ тогда и только тогда, когда H₁oH₂(A) = H₂oH₁(A) для некоторой точки A.

Прислать комментарий Решение

Задача 58030 (#19.049B2)

Тема:

[

Композиции гомотетий

]

Сложность: 4+
Классы: 9

а) На сторонах треугольника ABC построены собственно подобные треугольники A₁BC, CAB₁ и BC₁A. Пусть A₂, B₂ и C₂ — соответственные точки этих треугольников. Докажите, что $\triangle$ A₂B₂C₂ $\sim$ $\triangle$ A₁BC.
б) Докажите, что центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах треугольника ABC, образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 58031 (#19.049)

Тема:

[

Окружность подобия трех фигур

]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Прямые A₂B₂ и A₃B₃, A₃B₃ и A₁B₁, A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точках P₁, P₂, P₃ соответственно.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников A₁A₂P₃, A₁A₃P₂ и A₂A₃P₁ пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃.
б) Пусть O₁ — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок A₂B₂ в отрезок A₃B₃; точки O₂ и O₃ определяются аналогично. Докажите, что прямые P₁O₁, P₂O₂ и P₃O₃ пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃.

Прислать комментарий Решение

Задача 58032 (#19.050)

Тема:

[

Окружность подобия трех фигур

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, а также A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃ — соответственные отрезки подобных фигур F₁, F₂ и F₃. Докажите, что треугольник, образованный прямыми A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, подобен треугольнику, образованному прямыми A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один из этих треугольников в другой, лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃.

Прислать комментарий Решение

Задача 58033 (#19.051)

Тема:

[

Окружность подобия трех фигур

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть l₁, l₂ и l₃ — соответственные прямые подобных фигур F₁, F₂ и F₃, пересекающиеся в точке W.
а) Докажите, что точка W лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃.
б) Пусть J₁, J₂ и J₃ — точки пересечения прямых l₁, l₂ и l₃ с окружностью подобия, отличные от точки W. Докажите, что эти точки зависят только от фигур F₁, F₂ и F₃ и не зависят от выбора прямых l₁, l₂ и l₃.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 66]