Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решить уравнение  x³ – [x] = 3.

   Решение

---

Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно поедет на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Проезд в метро стоил 50 коп., в трамвае – 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)

   Решение

---

Товарный поезд, отправившись из Москвы в x часов y минут, прибыл в Саратов в y часов z минут. Время в пути составило z часов x минут.
Найдите все возможные значения x.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108611  (#1)

Темы:   [ Неравенства для элементов треугольника. ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Пусть a, b, c – длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC,  γ = ∠C.  Докажите, что  c ≥ (a + b) sin ^γ/₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97865  (#2)

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

а) Привести пример такого положительного a, что  {a} + {¹/_a} = 1.
б) Может ли такое a быть рациональным числом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97876  (#3)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97867  (#4)

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97868  (#5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.
  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?
  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями