Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Найдите все такие натуральные (a, b), что a2 делится на натуральное число 2ab2 – b3 + 1.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$
Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых t1, ..., t100 из S множества
Aj = {x + tj | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида np – p не делятся на q.
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Международная Математическая Олимпиада
>>
44 Международная Математическая Олимпиада (2003 год)
Решение 
