ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A1, B1 и C1. Пусть a1, b1 и c1 – длины сторон треугольника A1B1C1, S и S1 – площади треугольников ABC и A1B1C1. Докажите, что:
  а)  
  б)   S1S = 1/8 (a² + b² + c²).

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      



Задача 56885

Темы:   [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

а) В треугольниках ABC и A'B'C' равны стороны AC и A'C', углы при вершинах B и B' и биссектрисы углов B и B'.
Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник ABC равен треугольнику A'B'C' или треугольнику C'B'A').
б) Через точку D биссектрисы BB1 угла ABC проведены прямые AA1 и CC1 (точки A1 и C1 лежат на сторонах треугольника).
Докажите, что если  AA1 = CC1,  то  AB = BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56888

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Теорема синусов ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABC1D1 и A2BCD2.
Докажите, что точка пересечения прямых AD2 и CD1 лежит на высоте BH.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56889

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A1, B1 и C1. Пусть a1, b1 и c1 – длины сторон треугольника A1B1C1, S и S1 – площади треугольников ABC и A1B1C1. Докажите, что:
  а)  
  б)   S1S = 1/8 (a² + b² + c²).

Прислать комментарий     Решение

Задача 56891

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56895

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Окружность радиуса ua вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса ub вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами     равен    где p – полупериметр треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .