Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 30. Проективные преобразования
Параграфы:
-
параграф 1. Проективные преобразования прямой
(10 задач)
параграф 2. Проективные преобразования плоскости
(13 задач)
параграф 3. Переведем данную прямую на бесконечность
(12 задач)
параграф 4. Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность
(10 задач)
параграф 5. Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство
(5 задач)
параграф 6. Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение
(7 задач)
параграф 7. Невозможность построений при помощи одной линейки
(2 задачи)
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и точки A1, B1, C1, D1, удовлетворяющие тому же условию.
а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A1, B1, C1, D1.
б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное преобразование плоскости определяется образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).
в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C лежат на одной прямой l, а точки A1, B1, C1 — на одной прямой l1.
г) Единственно ли преобразование задачи в)?
Решение
Убрать все задачи
Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и точки A1, B1, C1, D1, удовлетворяющие тому же условию.
а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A1, B1, C1, D1.
б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное преобразование плоскости определяется образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).
в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C лежат на одной прямой l, а точки A1, B1, C1 — на одной прямой l1.
г) Единственно ли преобразование задачи в)?
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]
Докажите, что если плоскости 
и 
пересекаются,
то центральное проектирование на с центром O задает
взаимно однозначное отображение плоскости с выкинутой
прямой l1 на плоскость с выкинутой прямой l2, где l1
и l2 — прямые пересечения плоскостей и
соответственно с плоскостями, проходящими через O и параллельными
и . При этом на l1 отображение не определено.
Докажите, что при центральном проектировании
прямая, не являющаяся исключительной, проецируется в прямую.
Докажите, что если наряду с обычными точками
и прямыми рассматривать бесконечно удаленные, то
а) через любые две точки проходит единственная прямая;
б) любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в единственной точке;
в) центральное проектирование одной плоскости на другую является взаимно однозначным отображением.
а) Докажите, что проективное преобразование P
плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую
в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.
б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования P плоскости
, то
P(A)P(B) : P(C)P(D) = AB : CD.
в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые l1 и l2 в параллельные прямые, то либо P аффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l1 и l2.
г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.
Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых
не лежат на одной прямой, и точки A1, B1, C1, D1,
удовлетворяющие тому же условию.
а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A1, B1, C1, D1.
б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное преобразование плоскости определяется образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).
в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C лежат на одной прямой l, а точки A1, B1, C1 — на одной прямой l1.
г) Единственно ли преобразование задачи в)?
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]
Задача 58419 (#30.011) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 58420 (#30.012) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 58421 (#30.013) |
|
|
а) через любые две точки проходит единственная прямая;
б) любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в единственной точке;
в) центральное проектирование одной плоскости на другую является взаимно однозначным отображением.
|
|
|
Решение |
Задача 58422 (#30.014) |
|
|
б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования P плоскости
в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые l1 и l2 в параллельные прямые, то либо P аффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l1 и l2.
г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.
|
|
|
Решение |
Задача 58423 (#30.015) |
|
|
а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A1, B1, C1, D1.
б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное преобразование плоскости определяется образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).
в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C лежат на одной прямой l, а точки A1, B1, C1 — на одной прямой l1.
г) Единственно ли преобразование задачи в)?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]
