Страница:
<< 46 47 48 49
50 51 52 >> [Всего задач: 1255]
Задача
60524
(#03.072)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В каких пределах должно заключаться c, чтобы уравнение 19x + 14y = c имело шесть натуральных решений?
Задача
60525
(#03.073)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами (x, y), лежащие в полосе 0 ≤ x ≤ b – 1. Каждой такой точке припишем целое число N(x, y) = ax + by.
а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка (x, y) (0 ≤ x ≤ b – 1), для которой N(x, y) = c.
б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение ax + by = c не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.
Задача
60526
(#03.074)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты. Докажите, что для того, чтобы уравнение $ax + by = c$ имело ровно $n$ целых положительных решений, значение $c$ должно находиться в пределах $(n - 1) \cdot ab + a + b \leqslant c \leqslant (n + 1) \cdot ab.$
Задача
60527
(#03.075)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Отметим на прямой красным цветом все точки вида 81x + 100y, где x, y – натуральные, и синим цветом –
остальные целые точки.
Найдите на прямой такую точку, что любые симметричные относительно неё целые точки окрашены в разные цвета.
Задача
60528
(#03.076)
|
|
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
|
Найдите все двузначные числа, квадрат которых равен кубу суммы их цифр.
Страница:
<< 46 47 48 49
50 51 52 >> [Всего задач: 1255]
Фильтр
Решение 
