Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]

Задача 60835 (#04.209)

Тема:

[

Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Найдите наименьшее натуральное число, половина которого – квадрат, треть – куб, а пятая часть – пятая степень.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60836 (#04.210)

[Числа-автоморфы]

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

а) Трёхзначное число 625 обладает своеобразным свойством самовоспроизводимости, как то: 625² = 390625. БикЮ Сколько четырёхзначных чисел удовлетворяют уравнению x² ≡ x (mod 10000)?
б) Докажите, что при любом k существует ровно четыре набора из k цифр – 0...0, 0...01 и ещё два, оканчивающиеся пятеркой и шестёркой, – обладающие таким свойством: если натуральное число оканчивается одним из этих наборов цифр, то его квадрат оканчивается тем же набором цифр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60837 (#04.211)

[Больное войско]

Тема:

[

Китайская теорема об остатках

]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Генерал хочет построить для парада своих солдат в одинаковые квадратные каре (конечно, в каре должно быть более одного человека), но он не знает сколько солдат (от 1 до 37) находится в лазарете. Докажите, что у генерала может быть такое количество солдат, что он, независимо от заполнения лазарета, сумеет выполнить свое намерение. Например войско из 9 человек можно поставить в виде квадрата 3×3, а если один человек болен, то в виде двух квадратов 2×2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60838 (#04.212)

[Восточный Календарь]

Тема:

[

Китайская теорема об остатках

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

В китайской натурофилософии выделяются пять первоэлементов природы – дерево, огонь, металл, вода и земля, которым соответствуют пять цветов – синий (или зелёный), красный, белый, чёрный и жёлтый. В восточном календаре с древних времен используется 12-летний животный цикл так, что каждому из 12 годов в цикле соответствует одно из животных. Кроме того, каждый год проходит под покровительством одной из стихий и окрашивается в один из цветов:
годы, оканчивающиеся на 0 и 1 – годы металла (цвет белый);
годы, оканчивающиеся на 2 и 3 – это годы воды (цвет чёрный);
годы, оканчивающиеся на 4 и 5 – годы дерева (цвет синий);
годы, оканчивающиеся на 6 и 7 – годы огня (цвет красный);
годы, оканчивающиеся на 8 и 9 – годы земли (цвет жёлтый).
В 60-летнем календарном цикле каждое животное возникает пять раз. С помощью китайской теоремы об остатках объясните, почему оно все пять раз бывает разного цвета.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]