Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 100]

Задача 61463 (#11.036)

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

При возведении числа 1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
(1 + )¹ = 1 + = + , (1 + )² = 3 + 2 = + , (1 + )³ = 7 + 5 = + , (1 + )⁴ = 17 + 12 = + .
Для их изучения определим числа a_n и b_n при помощи равенства (1 + )ⁿ = a_n + b_n, (n ≥ 0).
а) Выразите через a_n и b_n число (1 – )ⁿ.
б) Докажите равенство
в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {a_n} и {b_n}?
г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {a_n} и {b_n}.
д) Найдите связь между числами a_n, b_n и подходящими дробями к числу .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61464 (#11.037)

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассмотрим равенства:

2 + $\displaystyle \sqrt{3}$	=	$\displaystyle \sqrt{4}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ ,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ )²	=	$\displaystyle \sqrt{49}$ + $\displaystyle \sqrt{48}$ ,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ )³	=	$\displaystyle \sqrt{676}$ + $\displaystyle \sqrt{675}$ ,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ )⁴	=	$\displaystyle \sqrt{9409}$ + $\displaystyle \sqrt{9408}$ .