Каталог по источникам

ЗАДАЧИ
problems.ru

О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |

Проект МЦНМО
при участии
школы 57

Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел

Главы:

глава 1. Метод математической индукции (59 задач)
глава 2. Комбинаторика (110 задач)
глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики (173 задачи)
глава 4. Арифметика остатков (209 задач)
глава 5. Числа, дроби, системы счисления (85 задач)
глава 6. Многочлены (141 задача)
глава 7. Комплексные числа (97 задач)
глава 8. Алгебра + геометрия (90 задач)
глава 9. Уравнения и системы (100 задач)
глава 10. Неравенства (76 задач)
глава 11. Последовательности и ряды (99 задач)
глава 12. Шутки и ошибки (15 задач)

Фильтр

Выбрана 1 задача

Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть a_n – число решений уравнения x₁ + ... + x_k = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Задачи

Страница: << 239 240 241 242 243 244 245 >> [Всего задач: 1255]

Задача 61493 (#11.066)

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть a_n – число решений уравнения x₁ + ... + x_k = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий

Задача 61493 (#11.067)

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть a_n – число решений уравнения x₁ + ... + x_k = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий

Задача 61495 (#11.068)

Темы:	[	Формальные степенные ряды	]
Темы:	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Докажите тождество:

(1 + x + x² +...+ x⁹)(1 + x¹⁰ + x²⁰ +...+ x⁹⁰)×

×(1 + x¹⁰⁰ + x²⁰⁰ +...+ x⁹⁰⁰)...= $\displaystyle {\dfrac{1}{1-x}}$ .

Прислать комментарий

Задача 61496 (#11.069)

[Бином Ньютона для отрицательных показателей]

Тема:

[

Треугольник Паскаля и бином Ньютона

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства

а)

б)

Прислать комментарий

Задача 61497 (#11.070)

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
Темы:	[	Производящие функции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а) б)

Прислать комментарий

Страница: << 239 240 241 242 243 244 245 >> [Всего задач: 1255]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)

Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .