Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 64838 (#1)

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Средние величины	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Акулич И.Ф.

Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
а) ровно в шесть раз;
б) ровно в пять раз?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64842 (#2)

Темы:	[	Композиции поворотов	]
Темы:	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Расторгуев В.

Вершины треугольника обозначены буквами A, B, C по часовой стрелке. Треугольник последовательно поворачивают по часовой стрелке: сначала вокруг вершины A на угол, равный углу A, потом – вокруг вершины B на угол, равный углу B, и так далее по циклу (каждый раз поворот делают вокруг текущего положения очередной вершины). Докажите, что после шести поворотов треугольник займёт исходное положение.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64843 (#3)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 64844 (#4)

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Даны N прямоугольных треугольников (N > 1). У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что все исходные треугольники подобны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64845 (#5)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]