Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]

Задача 65023 (#22)

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках.
Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65024 (#23)

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что AB·CF = 2BC·FA, CD·EB = 2DE·BC, EF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65025 (#24)

Темы:	[	Перпендикулярные прямые в пространстве	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l', проходящей через A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l') к прямым l и l'. Найдите ГМТ точек Y.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65026 (#25)

Темы:	[	Основные свойства и определения правильных многогранников	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4-
Классы: 11

Автор: Белухов Н.

Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.
Найдите отношение рёбер икосаэдров.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]