Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 66556 (#1)

Тема:

[

Признаки делимости (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Евдокимов М.А.

Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, ..., 9 поровну?

Прислать комментарий Решение

Задача 66557 (#2)

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Новиков В. В.

Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?

Прислать комментарий Решение

Задача 66558 (#3)

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Три богатыря сражаются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и еще две, а Алёша Попович — четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному, в том порядке, в котором считают нужным. Если ни один богатырь не может ударить из-за того, что число голов получится нецелым, то Змей съедает богатырей. Смогут ли богатыри отрубить все головы $20^{20}$-головому Змею?

Прислать комментарий Решение

Задача 66559 (#4)

Тема:

[

Треугольники (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Соколов А.

В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB$<$BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66560 (#5)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Погудин Г.А.

К Ивану на день рождения пришли $3 n$ гостей. У Ивана есть $3 n$ цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по $n$ штук каждого типа. Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так, чтобы длина каждого хоровода делилась на $3$, а при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ...АБВ. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(3n)!$ различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.)

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]