Версия для печати
Убрать все задачи

---

На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ построен параллелограмм $APQC$ так, что точка $B$ лежит внутри него, а сторона $AP$ равна стороне ромба.
Докажите, что $B$ – точка пересечения высот треугольника $DPQ$.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66841  (#1)

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Карта Квадрландии представляет собой квадрат 6×6 клеток. Каждая клетка – либо королевство, либо спорная территория. Королевств всего 27, а спорных территорий 9. На спорную территорию претендуют все королевства по соседству и только они (то есть клетки, соседние со спорной по стороне или вершине). Может ли быть, что на каждые две спорные территории претендует разное число королевств?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66842  (#2)

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма каждых 11 подряд идущих чисел равнялась 100 или 101?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66843  (#3)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ построен параллелограмм $APQC$ так, что точка $B$ лежит внутри него, а сторона $AP$ равна стороне ромба.
Докажите, что $B$ – точка пересечения высот треугольника $DPQ$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66844  (#4)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Тождественные преобразования ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Целое число $n$ таково, что уравнение  $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = n$  имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение  $x^2 + y^2 - xy = n$  имеет решение в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66845  (#5)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На доске 8×8 в клетках a1 и c3 стоят две одинаковые фишки. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. В свой ход игрок выбирает любую фишку и сдвигает её либо по вертикали вверх, либо по горизонтали вправо на любое число клеток. Выиграет тот, кто сделает ход в клетку h8. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл соперник? В одной клетке может стоять только одна фишка, прыгать через фишку нельзя.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями