Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78264 (#1)

Темы:	[	Векторы (прочее)	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Точки A и B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям O₁ и O₂ соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина C правильного треугольника ABC также движется равномерно по некоторой окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 78265 (#2)

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78266 (#3)

Темы:	[	Деревья	]
Темы:	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

n точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.
Доказать, что общее число отрезков равно n – 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78267 (#4)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

a, b, p – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые k, l, что ak + bl делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78268 (#5)

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Коля и Петя делят 2n + 1 орехов, n $\ge$ 2, причём каждый хочет получать возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа). 1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов. 2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха. 1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов. 3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части; При втором способе Коля берёт обе средние части; При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдаёт Пете один орех. Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]