Версия для печати
Убрать все задачи

---

В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что
  а) волшебник может это сделать;
  б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;
  в) существует единственный путь, обходящий все города;
  г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35723

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Четность и нечетность ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся две хорды одинаковой длины?

б) 20 точек, делящие окружность на 20 равных дуг, попарно соединены 10 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97790

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Подсчет двумя способами ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Раскладки и разбиения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите для каждого натурального числа  n > 1  равенство:   [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log₂n] + [log₃n] + ... + [log_nn].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97792

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На полосе бумаги написаны подряд 60 знаков: "×" и "0". Эту полоску разрезают на куски с симметричным расположением знаков. Например:
0,  × ×,  0 × × × × 0,  × 0 ×,  ... .
  а) Докажите, что существует такой способ разрезания, при котором кусков не больше 24.
  б) Приведите пример такого расположения знаков, при котором меньше 15 кусков получить нельзя.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97799

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Доказать, что из 17 различных натуральных чисел либо найдутся пять таких чисел a, b, c, d, e, что каждое из чисел этой пятёрки, кроме последнего, делится на число, стоящее за ним, либо найдутся пять таких чисел, что ни одно из них не делится на другое.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97804

Темы:   [ Отношение порядка ] [ Обход графов ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что
  а) волшебник может это сделать;
  б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;
  в) существует единственный путь, обходящий все города;
  г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями