Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 108009 (#1)

Темы:	[	Треугольник (построения)	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	ГМТ и вписанный угол	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Васильев Н.Б.

Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98276 (#2)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Курляндчик Л.Д.

Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108008 (#3)

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

AK – биссектриса треугольника ABC, P и Q – точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что PA = PK и QA = QK.
Докажите, что ∠PAQ = 90° – ½ ∠A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98278 (#4)

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Теория алгоритмов	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Гальперин Г.А.

В компанию из n человек пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек Z, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: "Знаете ли вы такого-то?"
а) Может ли журналист установить, кто из компании есть Z, задав менее n вопросов?
б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти Z, и докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя.
(Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 98279 (#5)

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Произволов В.В.

а) Существуют ли два равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают?
б) А три таких семиугольника?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]