Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 148 149 150 151 152 153 154 >> [Всего задач: 1255]

Задача 61038 (#06.115)

Темы:	[	Теорема Виета	]
	[	Симметрические многочлены	]
	[	Кубические многочлены	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения x³ + px² + qx + r = 0 положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61039 (#06.116)

Тема:

[

Теорема Виета

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Известно, что x + y = u + v, x² + y² = u² + v².
Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xⁿ + yⁿ = uⁿ + vⁿ.

б) Известно, что x + y + z = u + v + t, x² + y² + z² = u² + v² + t², x³ + y³ + z³ = u³ + v³ + t³.
Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xⁿ + yⁿ + zⁿ = uⁿ + vⁿ + tⁿ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61040 (#06.117)

Темы:	[	Симметрические системы. Инволютивные преобразования	]
	[	Симметрические многочлены	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Решите системы:

а)

б) x(y + z) = 2, y(z + x) = 2, z(x + y) = 3;

в) x² + y² + x + y = 32, 12(x + y) = 7xy;

г)

д) x + y + z = 1, xy + xz + yz = –4, x³ + y³ + z³ = 1;

е) x² + y² = 12, x + y + xy = 9.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61041 (#06.118)

Темы:	[	Системы алгебраических нелинейных уравнений	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена x⁴ – ax³ – bx + c. Найдите все такие многочлены.
б) Числа a, b, c являются корнями многочлена x⁴ – ax³ – bx + c. Найдите все такие многочлены.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61042 (#06.119)

Темы:	[	Симметрические многочлены	]
Темы:	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству a + b + c = 0. Докажите, что 2a⁴ + 2b⁴ + 2c⁴ – квадрат целого числа.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 148 149 150 151 152 153 154 >> [Всего задач: 1255]