Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]

Задача 57144 (#07.016)

Тема:

[

ГМТ - окружность или дуга окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и S_a — окружность с диаметром DE, окружности S_b и S_c определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности S_a, S_b и S_c имеют две общие точки M и N, причем прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC;
б) проекции точки M (и точки N) на стороны треугольника ABC образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 57145 (#07.016B)

Тема:

[

ГМТ - окружность или дуга окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр описанной окружности, K — точка Лемуана.

Прислать комментарий Решение

Задача 57146 (#07.017)

Тема:

[

ГМТ - окружность или дуга окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Треугольник ABC правильный, M — некоторая точка. Докажите, что если числа AM, BM и CM образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.

Прислать комментарий Решение

Задача 57147 (#07.018)

Темы:	[	ГМТ и вписанный угол	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57148 (#07.019)

Темы:	[	ГМТ и вписанный угол	]
Темы:	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Точка P перемещается по описанной окружности квадрата ABCD. Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая, проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую BP в точке X. Найдите ГМТ X.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]