Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]

Задача 58051 (#20.006)

Тема:

[

Наименьший или наибольший угол

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Внутри остроугольного треугольника взята точка P. Докажите, что наибольшее из расстояний от точки P до вершин этого треугольника меньше удвоенного наименьшего из расстояний от P до его сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 58052 (#20.007)

Тема:

[

Наименьший или наибольший угол

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

а) Длины биссектрис треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит 1/ $\sqrt{3}$ .
б) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если длины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ не превосходят 1, то площадь треугольника ABC не превосходит 1/ $\sqrt{3}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 58053 (#20.008)

Тема:

[

Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

На плоскости дано n $\ge$ 3 точек, причем не все они лежат на одной прямой. Докажите, что существует окружность, проходящая через три из данных точек и не содержащая внутри ни одной из оставшихся точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58054 (#20.009)

Тема:

[

Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

На плоскости расположено несколько точек, все попарные расстояния между которыми различны. Каждую из этих точек соединяют с ближайшей. Может ли при этом получиться замкнутая ломаная?

Прислать комментарий Решение

Задача 58055 (#20.010)

Тема:

[

Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из внутренней точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне, а не на ее продолжении.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]