Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 97]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61130  (#07.066)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Вычислите суммы:

  а)  1 + a cos φ + ... + a^k cos kφ + ... ( |a| < 1);

  б)  a sin φ + ... + a^k sin kφ + ... ( |a| < 1);

  в)  

  г)  

Решение

  а), б) Пусть  z = a(cos φ + i sin φ).  Искомые суммы – вещественная и мнимая части суммы

  в), г) Пусть  z = cos φ + i sin φ.  Тогда  
Искомые суммы – вещественная и мнимая части выражения

Ответ

а)     б)     в)     г)  

Прислать комментарий

---

Задача 61131  (#07.067)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Найдите предел  

Подсказка

Если  z = ½ (cos x + i sin x),  то выражение в скобках равно  Re(1 + z + z² + ... + zⁿ).

Ответ

Прислать комментарий

---

Задача 61132  (#07.068)

Тема:   [ Геометрия комплексной плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Пусть z₁, ..., z_n – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg z < α + π.  Докажите, что
  а)  z₁ + ... + z_n ≠ 0;
  б)  ¹/_z1 + ... + ¹/_zn ≠ 0.

Подсказка

а) Все векторы z₁, ..., z_n имеют положительную проекцию на луч  arg z = α + ^π/₂.
б) Все числа  ¹/_z1, ..., ¹/_zn  лежат в полуплоскости  π – α < arg z < 2π – α.

Прислать комментарий

---

Задача 61133  (#07.069)

Темы:   [ Геометрия комплексной плоскости ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть z₁, z₂, ..., z_n – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  z = λ₁z₁ + λ₂z₂ + ... + λ_nz_n,  где λ₁, λ₂, ..., λ_n – такие действительные положительные числа, что  λ₁ + λ₂ + ... + λ_n = 1.

Ответ

Это многоугольник с указанными вершинами.

Прислать комментарий

---

Задача 61134  (#07.070)

Темы:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ] [ Геометрия комплексной плоскости ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что корни уравнения    где a, b, c – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).

Решение

Если точка z лежит вне треугольника abc, то векторы  z – a,  z – b,  z – c  располагаются в некоторой полуплоскости. Сумма их обратных величин не может равняться нулю согласно задаче 61132 б).

Прислать комментарий

---

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 97]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями