Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 23]
a1, a2, a3, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что
aak = 3k для любого k.
Найти а) a100; б) a1983.
Разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на несколько подобных
ему треугольников, так чтобы любые два из них были различны по размерам.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел: (8, 9), (288, 289).
Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках K, M и P. Докажите, что 
где Q – центр вписанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна 1/n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)
Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 23]
Фильтр
