Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 41]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Кресла для зрителей вдоль лыжной трассы занумерованы по порядку: 1, 2, 3,
..., 1000. Кассирша продала n билетов на все первые 100 мест, но n больше 100, так как на некоторые места она продала больше одного билета (при этом n < 1000). Зрители входят на трассу по одному.Каждый, подойдя к своему месту, занимает его, если оно свободно, если же занято, говорит "Ох!", идёт в сторону роста номеров до первого свободного места и занимает его. Каждый раз, обнаружив очередное место занятым, он говорит "Ох!". Докажите, что число "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия
а) из 11,
б) из 10000,
в) из бесконечного числа натуральных чисел,
такая что последовательность сумм цифр её членов – также возрастающая
арифметическая прогрессия?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n.
Докажите,что сумма n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей, равна 30°:
а) при n = 3;
б) при произвольном n.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Кузнечик вначале сидит в точке M плоскости Oxy вне квадрата
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (координаты M – нецелые, расстояние от M до центра квадрата равно d). Кузнечик прыгает в точку, симметричную M относительно самой правой (с точки зрения кузнечика) вершины квадрата. Докажите, что за несколько таких прыжков кузнечик не сможет удалиться от центра квадрата более чем на 10d.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек чисел n – 1, n, n + 1, что:
a) n представимо в виде суммы двух квадратов натуральных (целых
положительных) чисел, а n – 1 и n + 1 – нет;
б) каждое из трёх чисел представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 41]
Фильтр
