Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66267  (#9.8)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ω_Q и ω_P треугольников ACQ и BDP.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66275  (#10.8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дан неравнобедренный треугольник ABC, AA₁ – его биссектриса, A₂ – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Аналогично определяются точки B₁, B₂, C₁, C₂. Пусть O – центр описанной окружности треугольника, I – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников AA₁A₂, BB₁B₂, CC₁C₂, лежит на прямой OI.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65797  (#9)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH. В треугольники ACH и BCH вписали окружности; O₁ и O₂ – их центры; P₁ и P₂ – их точки касания с AC и BC. Докажите, что прямые O₁P₁ и O₂P₂ пересекаются на AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65798  (#10)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

По стороне AB треугольника ABC движется точка X, а по описанной окружности Ω – точка Y так, что прямая XY проходит через середину дуги AB. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников IXY, где I – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65799  (#11)

Темы:   [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Восстановите треугольник ABC по вершине B, центру тяжести и точке пересечения L симедианы, проведённой из вершины B, с описанной окружностью.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями