Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
  а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
  б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?

   Решение

На сторонах некоторого многоугольника расставлены стрелки.
Докажите, что число вершин, в которые входят две стрелки, равно числу вершин, из которых выходят две стрелки.

   Решение

Дан треугольник ABC. Точки M₁, M₂, M₃ – середины сторон AB, BC и AC, a точки H₁, H₂, H₃ – основания высот, лежащие на тех же сторонах.
Докажите, что из отрезков H₁M₂, H₂M₃ и H₃M₁ можно построить треугольник.

   Решение

Высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника основания. Докажите, что противоположные рёбра пирамиды попарно перпендикулярны.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

Семиугольник  A₁...A₇ вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при вершинах  A₁, A₃, A₅ меньше  450^o.

Прислать комментарий

Решение

Плоский многоугольник A₁A₂...A_n составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Докажите, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Внутри выпуклого многоугольника  A₁...A_n взята точка O. Пусть  — величина угла при вершине  A_k, x_k = OA_k, d_k — расстояние от точки O до прямой  A_kA_{k + 1}. Докажите, что  x_ksin(/2) d_k и  x_kcos(/2) p, где p — полупериметр многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Правильный 2n-угольник M₁ со стороной a лежит внутри правильного 2n-угольника M₂ со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M₁ содержит центр многоугольника M₂.

Прислать комментарий

Решение

Внутри правильного многоугольника  A₁...A_n взята точка O. Докажите, что по крайней мере один из углов A_iOA_j удовлетворяет неравенствам  (1 - 1/n) A_iOA_j .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]