Версия для печати
Убрать все задачи

---

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида  x² + px + q,  где p, q – целые,  1 ≤ p ≤ 1997,  1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

   Решение

---

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.

   Решение

---

Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма любых пяти чисел подряд была бы положительна, а сумма любых семи подряд отрицательна?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 199]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30777

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех камней?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30779

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Дана некоторая тройка чисел. С любыми двумя из них разрешается проделывать следующее: если эти числа равны a и b, то их можно заменить на     и   .  Можно ли с помощью таких операций получить тройку     из тройки  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34845

Темы:   [ Инварианты ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

См. задачу 73546 а).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35225

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На доске выписаны числа 1, ½, ..., ¹/_n. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число  ab + a + b.
Какое число останется после  n – 1  такой операции?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 88305

Темы:   [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На доске написаны числа
  а) 1, 2, 3, ..., 2003;
  б) 1, 2, 3, ..., 2005.
Разрешается стереть два любых числа и вместо них написать их разность. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали нулями?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 199]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями