Страница:
<< 29 30 31 32
33 34 35 >> [Всего задач: 411]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
К Ивану на день рождения пришли $3 n$ гостей.
У Ивана есть $3 n$ цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по $n$ штук каждого типа.
Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так,
чтобы длина каждого хоровода делилась на $3$, а при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ...АБВ.
Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(3n)!$ различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
На доске написана буква А. Разрешается в любом порядке и количестве:
а) приписывать А слева;
б) приписывать Б справа;
в) одновременно приписывать Б слева и А справа.
Например, БААБ так получить можно (A → БAA → БААБ), а АББА – нельзя. Докажите, что при любом натуральном $n$ половину слов длины $n$ получить можно, а другую половину – нельзя.
|
[Числа-автоморфы]
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа 76² = 5776 – это снова 76.
а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
б) Найдите все такие трёхзначные числа A, что последние три цифры числа A² составляют число А.
в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр a1, a2, a3, ..., что для любого натурального n квадрат числа anan–1...a2a1 оканчивается на эти же n цифр? Очевидный ответ a1 = 1 и 0 = a2 = a3 = ... мы исключаем.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
В таблице размерами m×n расставлены числа – в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчеркнуто k наибольших чисел (k ≤ m), в каждой строке – l наибольших чисел (l ≤ n). Докажите, что по крайней мере kl чисел подчёркнуты дважды.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2
k. Из него получается новый по
следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее
2
k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1
проделывается то же самое и т.д.
Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.
Страница:
<< 29 30 31 32
33 34 35 >> [Всего задач: 411]
Фильтр
