Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 411]

Задача 110026

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Тухвебер С.

Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для любого натурального n , 1 n2000 , выполняется равенство

a13+a23+..+a_n3=(a1+a2+..+a_n)2.
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58201

Темы:	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.

Прислать комментарий Решение

Задача 76515

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Некоторые из чисел a₁, a₂,...a_n равны +1, остальные равны -1. Доказать, что

2 sin $\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$ a₁ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$ $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ =

= a₁ $\displaystyle \sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}$ .

В частности, при a₁ = a₂ = ... = a_n = 1, имеем:

2 sin $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{2^{n-1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right)$ $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 77960

Темы:	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]
Темы:	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.

Прислать комментарий Решение

Задача 78609

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате расположено K точек (K > 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 411]