Страница: << 98 99 100 101 102 103 104 >> [Всего задач: 590]      

Даны положительные числа  a₁, a₂, ..., a_n.  Известно, что  a₁ + a₂ + ... + a_n ≤ ½.  Докажите, что  (1 + a₁)(1 + a₂)...(1 + a_n) < 2.

Прислать комментарий

Решение

Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

Прислать комментарий

Решение

Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем    .

Прислать комментарий

Решение

Найдите все пары простых чисел p и q, обладающие следующим свойством:  7p + 1  делится на q, а  7q + 1  делится на p.

Прислать комментарий

Решение

На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9·1000¹⁰⁰⁰-м месте?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 98 99 100 101 102 103 104 >> [Всего задач: 590]