В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 2]      

Дан тетраэдр ABCD. В грани ABC и ABD вписаны окружности с центрами O₁, O₂, касающиеся ребра AB в точках T₁, T₂. Плоскость π_AB проходит через середину отрезка T₁T₂ и перпендикулярна O₁O₂. Аналогично определяются плоскости π_AC, π_BC, π_AD, π_BD, π_CD. Докажите, что все эти шесть плоскостей проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Дан тетраэдр $ABCD$. Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D_0$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$, $PB_0$, $PC_0$, $PD_0$ со сферами $PBCD$, $PCDA$, $PDAB$, $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 2]