Версия для печати
Убрать все задачи

---

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

   Решение

---

В городе живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Рыцари носят с собой шпагу, а лжецы– нет. Собрались вместе два рыцаря и два лжеца и посмотрели друг на друга. Кто из них мог сказать фразу: 1) "Cреди нас все рыцари". 2) "Среди вас есть ровно один рыцарь". 3) "Среди вас есть ровно два рыцаря" ? Для каждой фразы укажите всех, кто мог ее сказать, и объясните.

   Решение

---

Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. Пусть M и N – центры описанных окружностей треугольников AKB и CKD соответственно. Докажите, что  OM = KN.

   Решение

---

В трапеции ABCD ( BCAD) известно, что AD = 3 ^. BC. Прямая пересекает боковые стороны трапеции в точках M и N, AM : MB = 3 : 5, CN : ND = 2 : 7. Найдите отношение площадей четырёхугольников MBCN и AMND.

   Решение

---

Известно, что корни уравнения  x² + px + q = 0  – целые числа, а p и q – простые числа. Найдите p и q.

   Решение

---

На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.
Можно ли подобрать такие числа a, b и c, чтобы это были графики трёхчленов  ax² + bx + c,  bx² + cx + a  и  cx² + ax + b?

   Решение

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 288]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110178

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Полуинварианты ] [ Процессы и операции ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66617

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\frac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109652

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Инварианты ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:

1. Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
2. Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .

Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64667

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Раскраски ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97981

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Четность и нечетность ] [ Куб ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 288]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями