Каталог по темам

Задачи

Страница: << 131 132 133 134 135 136 137 >> [Всего задач: 12601]

Задача 57701

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 3
Классы: 9

Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB² + BC² + CD² + DA² $\ge$ AC² + BD², причем равенство достигается, только если ABCD — параллелограмм.

Прислать комментарий Решение

Задача 57712

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 3
Классы: 9

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина ${\frac{p}{OA}}$ + ${\frac{q}{OB}}$ остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 57713

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 3
Классы: 9

Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что (1/ $\overline{MA_1}$ ) + (1/ $\overline{MB_1}$ ) + (1/ $\overline{MC_1}$ ) = 0 (отрезки MA₁, MB₁ и MC₁ считаются ориентированными).

Прислать комментарий Решение

Задача 57714

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 3
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Отрезки BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что если $\overrightarrow{AA_2}$ + $\overrightarrow{BB_2}$ + $\overrightarrow{CC_2}$ = $\overrightarrow{0}$ , то AB₁ : B₁C = CA₁ : A₁B = BC₁ : C₁A.

Прислать комментарий Решение

Задача 57717

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 3
Классы: 9

Точка X лежит внутри треугольника ABC, $\alpha$ = S_BXC, $\beta$ = S_CXA и $\gamma$ = S_AXB. Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора $\alpha$ $\overrightarrow{AA_1}$ + $\beta$ $\overrightarrow{BB_1}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{CC_1}$ равна ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ )d, где d — расстояние от точки X до прямой l.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 131 132 133 134 135 136 137 >> [Всего задач: 12601]