Каталог по темам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 91]

Задача 115889

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Блинков А.Д.

В трапеции ABCD боковая сторона AB равна меньшему основанию BC, а диагональ AC равна основанию AD. Прямая, проходящая через вершину B параллельно AC, пересекает прямую DC в точке M. Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116503

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Окружность, проходящая через точку I, касается сторон AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что отрезок XY касается вписанной в треугольник ABC окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56512

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Докажите, что высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A₁B₁C₁ пополам.
б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно.
Докажите, что если ∠B₁A₁C = ∠BA₁C₁, ∠A₁B₁C = ∠AB₁C₁ и ∠A₁C₁B = ∠AC₁B₁, то точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64669

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

В квадрате ABCD на стороне ВС взята точка М, а на стороне CD – точка N так, что ∠MAN = 45°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника AMN принадлежит диагонали АС.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64910

Темы:	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Швецов Д.В.

Пусть BM – медиана прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°). Окружность, вписанная в треугольник ABM, касается сторон AB, AM в точках A₁, A₂; аналогично определяются точки C₁, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂ и C₁C₂ пересекаются на биссектрисе угла ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 91]