Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан вписанный 2n-угольник с углами , , ..., . Докажите, что

Верно ли обратное?

   Решение

---

В пятиугольнике A₁A₂A₃A₄A₅ проведены биссектрисы l₁, l₂, ..., l₅ углов A₁, A₂, ..., A₅ соответственно. Биссектрисы l₁ и l₂ пересекаются в точке B₁, l₂ и l₃ – в точке B₂ и т.д., ..., l₅ и l₁ пересекаются в точке B₅. Может ли пятиугольник B₁B₂B₃B₄B₅ оказаться выпуклым?

   Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 330]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73732

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Полуинварианты ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
  а)  m = n = 2;
  б)  m = 2  и произвольного n;
  в) любых натуральных m и n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73806

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76447

Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

На сколько частей могут разделить пространство n плоскостей?
(Каждые три плоскости пересекаются в одной точке, никакие четыре плоскости не имеют общей точки.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78014

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Функция Мебиуса ] [ Индукция (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дано число  H = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37  (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., H – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78682

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Разложение на множители ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Известно, что  aⁿ – bⁿ  делится на n (a, b, n – натуральные числа,  a ≠ b).  Доказать, что делится на n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 330]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями