Задача 109947

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Пятиугольники ] [ Биссектриса угла ] [ Неравенства для остроугольных треугольников ] [ Теорема Хелли ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Смирнова Л., Тарасенко Д.

В пятиугольнике A₁A₂A₃A₄A₅ проведены биссектрисы l₁, l₂, ..., l₅ углов A₁, A₂, ..., A₅ соответственно. Биссектрисы l₁ и l₂ пересекаются в точке B₁, l₂ и l₃ – в точке B₂ и т.д., ..., l₅ и l₁ пересекаются в точке B₅. Может ли пятиугольник B₁B₂B₃B₄B₅ оказаться выпуклым?

Решение

Предположим, что пятиугольник B₁B₂B₃B₄B₅ – выпуклый. Возьмём внутри него точку X и опустим из неё на прямые A₁A₂, A₂A₃, ..., A₅A₁ перпендикуляры XH₁, XH₂, ..., XH₅ соответственно (см. рис.).

Из расположения X относительно биссектрис углов A_i следует, что  XH₁ < XH₂ < XH₃ < XH₄ < XH₅ < XH₁.  Противоречие.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	98.4.10.6