Страница:
<< 78 79 80 81
82 83 84 >> [Всего задач: 590]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x1, x2, x3, ..., x9, x10 равна 1. Какой а) наибольшей; б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x1, ½ (x1 + x2), ⅓ (x1 + x2 + x3), ..., 1/10 (x1 + x2 + ... + x10)?
в) Каков будет ответ, если чисел не 10, а n?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Даны два набора из n вещественных чисел: a1, a2, ..., an и b1, b2, ..., bn. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из ai < aj следует, что bi ≤ bj;
б) из ai < a < aj, где a = 1/n (a1 + a2 + ... + an), следует, что bi ≤ bj,
то верно неравенство n(a1 b1 + a2b2 + ... + anbn) ≥ (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn).
Даны два набора чисел: a1, ..., an и b1, ..., bn. Расположим числа ak в возрастающем порядке, а числа bk – в убывающем порядке. Получатся наборы
A1 ≤ ... ≤ An, B1 ≥ ... ≥ Bn. Доказать, что max{a1 + b1, ..., an + bn} ≥ max{A1 + B1, ..., An + Bn}.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Считая известной формулу 
доказать, что для различных натуральных чисел a1, a2, ..., an справедливо неравенство 
Возможно ли равенство для каких-нибудь различных натуральных чисел a1, a2, ..., an?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.
Страница:
<< 78 79 80 81
82 83 84 >> [Всего задач: 590]
Фильтр
