ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      



Задача 64771

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В сейфе n ячеек с номерами от 1 до n. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в i-й ячейке оказалась карточка с числом ai. Петя может менять местами любые две карточки с номерами x и y, платя за это  2|x – y|  рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более  |a1 – 1| + |a2 – 2| + ... + |an – n|  рублей.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78568

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дана последовательность ..., a-n,..., a-1, a0, a1,..., an,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен $ {\frac{1}{4}}$ суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
Прислать комментарий     Решение


Задача 78561

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа:   1, X, X², X³, X4, ..., Xk (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть   в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78563

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

Прислать комментарий     Решение

Задача 98388

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Полуинварианты ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .