Страница:
<< 26 27 28 29
30 31 32 >> [Всего задач: 157]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Внутри прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1
B1
C1
D1
расположены два шара
σ1
и
σ2
,
касающиеся друг друга внешним образом; кроме того, шар
σ1
касается граней
ABCD ,
CDD1
C1
,
ADD1
A1
, а шар
σ2
касается граней
A1
B1
C1
D1
,
BCC1
B1
,
ABBA1
.
Известно, что
C1
D1
=22
-
,
BC = 22
,
AA1
=22
+ .
Найдите расстояние между центрами шаров
σ1
и
σ2
.
Найдите наименьший и наибольший суммарный объём шаров.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
В таблице размером m×n записаны числа так, что для каждых двух строк и каждых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше чем (n + m – 1) чисел.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если
проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань.
Докажите, что больших граней не больше 6.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры MK1, MK2, ..., MKn к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что 
(O – центр n-угольника).
б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M
внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна 
где O – центр тетраэдра.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 10,11
|
У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом
ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?
Страница:
<< 26 27 28 29
30 31 32 >> [Всего задач: 157]
Фильтр
Решение 
