Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]

Задача 64351

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Берлов С.Л.

Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток.
Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98582

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шень А.Х.

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере ⅔ задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере ⅔ школьников. Известно также, что по крайней мере ⅔ школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере ⅔ задач контрольной. Могло ли такое быть?

Изменится ли ответ, если везде в условии заменить ⅔ на б) ¾; в) ⁷/₁₀?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79397

Темы:	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Многоугольники (неравенства)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

X и Y — два выпуклых многоугольника, причём многоугольник X содержится внутри Y. Пусть S(X) и S(Y) — площади этих многоугольников, а P(X) и P(Y) — их периметры. Доказать, что ${\frac{S(X)}{P(X)}}$ < 2^. ${\frac{S(Y)}{P(Y)}}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 107769

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Параллельный перенос	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]

Сложность: 6-
Классы: 10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых A, параллельными переносами, переводящими A в каждую из остальных вершин, образуется 8 равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников пересекаются (по внутренним точкам).

Прислать комментарий Решение

Задача 64861

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Двугранный угол	]
	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Авторы: Шлосман С., Огиевецкий О.

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]