ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.

   Решение

Задачи

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 367]      



Задача 109658

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109924

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116398

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Брагин В.

Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116547

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Прямую палку длиной 2 метра распилили на N палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем N можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65238

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всём турнире найдётся команда, проигравшая не более чем четырём из остальных 109 команд.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 367]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .