Страница:
<< 6 7 8 9
10 11 12 >> [Всего задач: 328]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что для любого натурального n ≥ 2 справедливо неравенство: 
.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В соревновании участвуют 32 боксёра. Каждый боксёр в течение одного дня
может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу,
и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 15 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день
соревнований не изменяется.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10,11
|
В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном.
При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей
– молчунов.
Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины
класса так, чтобы все болтуны молчали.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Город имеет вид квадрата $n\times n$, разбитого на кварталы 1×1. Улицы идут с севера на юг и с запада на восток. Человек каждый день утром идёт из юго-западного угла в северо-восточный, двигаясь только на север или восток, а вечером возвращается обратно, двигаясь только на юг или запад. Каждое утро он выбирает свой путь так, чтобы суммарная длина знакомых участков пути (тех, которые он уже проходил в том или ином направлении) была минимальна, и каждый вечер тоже. Докажите, что за $n$ дней он пройдёт все улицы целиком.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух
соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как
справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.
Комментарий.
Словом мы называем любую
последовательность букв русского алфавита, не обязательно
осмысленную,
подсловом называется любой фрагмент слова.
Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его
подслова.
Страница:
<< 6 7 8 9
10 11 12 >> [Всего задач: 328]
Фильтр
Решение 
