Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.

   Решение

---

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

   Решение

---

Докажите, что середины двух противоположных сторон любого четырёхугольника и середины его диагоналей являются вершинами параллелограмма.

   Решение

---

Докажите неравенство для натуральных n:  

   Решение

---

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что  f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)|  при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79553

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенства с модулями ] [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Все значения квадратного трёхчлена  ax² + bx + c  на отрезке  [0, 1]  по модулю не превосходят 1.
Какое наибольшее значение при этом может иметь величина  |a| + |b| + |c|?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110162

Темы:   [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Неравенства с модулями ] [ Иррациональные неравенства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Положительные числа x, y, z таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что   + + > x + y + z.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111763

Темы:   [ Вычисление производной ] [ Неравенства с модулями ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что  f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)|  при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110748

Темы:   [ Выпуклый анализ и линейное программирование ] [ Неравенства с модулями ]

Сложность: 6- Классы: 10,11

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60309

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ] [ Индукция (прочее) ] [ Неравенства с модулями ]

Сложность: 2 Классы: 8

Докажите неравенство: |x₁ + ... + x_n| ≤ |x₁| + ... + |x_n|, где x₁,..., x_n — произвольные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями