Страница:
<< 13 14 15 16 17 18
19 >> [Всего задач: 91]
Вписанная окружность касается сторон BC, AC и AB треугольника ABC в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точки A2, B2 и C2 – центры окружностей, вписанных в треугольники соответственно AB1C1, BA1C1 и CA1B1 соответственно.
Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2
пересекаются в одной точке.
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L
соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что BP = CP.
Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C1 – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника,
пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Пусть окружность, вписанная в треугольник
ABC , касается
его сторон
AB ,
BC и
AC в точках
K ,
L и
M
соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники
BKL ,
CLM и
AKM проведены попарно общие внешние
касательные, отличные от сторон треугольника
ABC .
Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
|
Окружность, вписанная в четырёхугольник
ABCD , касается его
сторон
DA ,
AB ,
BC и
CD в точках
K ,
L ,
M и
N
соответственно. Пусть
S1
,
S2
,
S3
и
S4
–
окружности, вписанные в треугольники
AKL ,
BLM ,
CMN и
DNK
соответственно. К окружностям
S1
и
S2
,
S2
и
S3
,
S3
и
S4
,
S4
и
S1
проведены общие касательные,
отличные от сторон четырёхугольника
ABCD . Докажите, что
четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.
Страница:
<< 13 14 15 16 17 18
19 >> [Всего задач: 91]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Треугольники
>>
Замечательные точки и линии в треугольнике
>>
Свойства биссектрис, конкуррентность
Решение 
