Прямая отсекает треугольник AKN от правильного шестиугольника ABCDEF так, что  AK + AN = AB.
Найдите сумму углов, под которыми отрезок KN виден из вершин шестиугольника  (∠KAN + ∠KBN + ∠KCN + ∠KDN + ∠KEN + ∠KFN).

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружности в точках M и N, отличных от A, а параллельная ей прямая, проходящая через B, — соответственно в точках P и Q, отличных от B. Докажите, что MN = PQ.

   Решение

Через концы основания BC трапеции ABCD провели окружность, которая пересекла боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что точка T пересечения отрезков AN и DM также лежит на этой окружности. Докажите, что  TB = TC.

   Решение

Вычислите $$\int \limits_0^{\pi} \big(|\sin(1999x)|-|\sin(2000x)|\big) \, dx.$$

   Решение

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8, а высота равна 3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через одну из сторон основания и середину противоположного бокового ребра.

   Решение

а) В группе из четырёх человек, говорящих на разных языках, любые трое могут общаться (возможно, один переводит двум другим).
Доказать, что их можно разбить на пары, в каждой из которых имеется общий язык.
б) То же для группы из 100 человек.
в) То же для группы из 102 человек.

   Решение

Семиугольник  A₁...A₇ вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при вершинах  A₁, A₃, A₅ меньше  450^o.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

Семиугольник  A₁...A₇ вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при вершинах  A₁, A₃, A₅ меньше  450^o.

Прислать комментарий

Решение

Плоский многоугольник A₁A₂...A_n составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Докажите, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Внутри выпуклого многоугольника  A₁...A_n взята точка O. Пусть  — величина угла при вершине  A_k, x_k = OA_k, d_k — расстояние от точки O до прямой  A_kA_{k + 1}. Докажите, что  x_ksin(/2) d_k и  x_kcos(/2) p, где p — полупериметр многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Правильный 2n-угольник M₁ со стороной a лежит внутри правильного 2n-угольника M₂ со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M₁ содержит центр многоугольника M₂.

Прислать комментарий

Решение

Внутри правильного многоугольника  A₁...A_n взята точка O. Докажите, что по крайней мере один из углов A_iOA_j удовлетворяет неравенствам  (1 - 1/n) A_iOA_j .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]