В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.
Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

   Решение

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

   Решение

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в Z^* и W^*. Докажите, что середина отрезка Z^*W^* лежит на вписанной окружности.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]      

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то z + w + abc = a + b + c (Морли).

Прислать комментарий

Решение

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в Z^* и W^*. Докажите, что середина отрезка Z^*W^* лежит на вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника ABC с центром O; M — середина отрезка ZW. Докажите, что AOZ + AOW + AOM = n (углы ориентированы).

Прислать комментарий

Решение

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

Прислать комментарий

Решение

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиусы не меньше ½.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]