Каталог по темам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 99]

Задача 58541

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58542

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 58543

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида

pxy + qxz + rzy = 0.

б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида

px² + qy² + rz² = 2(± $\displaystyle \sqrt{pq}$ xy± $\displaystyle \sqrt{pr}$ xz± $\displaystyle \sqrt{qr}$ yz).

Прислать комментарий

Решение

Задача 58544

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением

p $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ + q $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \gamma$ + r $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ = 0.

Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \bigl($ r(p + q - r) : q(p + r - q) : p(r + q - p) $\displaystyle \bigr)$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 58545

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 99]