Числовая последовательность  A₁, A₂, ..., A_n, ...  определена равенствами   A₁ = 1,   A₂ = – 1,   A_n = – A_n–1 – 2A_n–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

   Решение

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 694]      

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

Прислать комментарий

Решение

Числовая последовательность  A₁, A₂, ..., A_n, ...  определена равенствами   A₁ = 1,   A₂ = – 1,   A_n = – A_n–1 – 2A_n–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

  Пусть a₀ – целое, a₁, ..., a_n – натуральные числа. Определим две последовательности
P_–1 = 1,  P₀ = a₀,  P_k = a_kP_k–1 + P_k–2  (1 ≤ k ≤ n);   Q_–1 = 0,  Q₀ = 1,  Q_k = a_kQ_k–1 + Q_k–2  (1 ≤ k ≤ n).
  Дроби ^P_k/_Qk называются подходящими дробями к числу  [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].
  Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
    а)  ^P_k/_Qk = [a₀; a₁, a₂,..., a_k];
    б)  P_kQ_k–1 – P_k–1Q_k = (–1)^k+1;
    в)   (P_k, Q_k) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что многочлен  P(x) = (xⁿ⁺¹ – 1)(xⁿ⁺² – 1)...(x^n+m – 1)  делится на  Q(x) = (x – 1)(x² – 1)...(x^m – 1).

Прислать комментарий

Решение

Последовательность многочленов  P₀(x) = 1,  P₁(x) = x,  P₂(x) = x² – 1, ...  задается условием  P_n+1(x) = xP_n(x) – P_n–1(x).
Докажите, что уравнение  P₁₀₀(x) = 0  имеет 100 различных действительных корней на отрезке  [–2, 2].  Что это за корни?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 694]