Каталог по темам

Задачи

Страница: << 84 85 86 87 88 89 90 >> [Всего задач: 606]

Задача 35181

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

За круглым столом совещались 2n депутатов. После перерыва эти же 2n депутатов расселись вокруг стола, но уже в другом порядке.
Доказать, что найдутся два депутата, между которыми как до, так и после перерыва сидело одинаковое число человек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35415

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На доске написано 10 натуральных чисел. Докажите, что из этих чисел можно выбрать несколько чисел и расставить между ними знаки "+" и "–" так, чтобы полученная в результате алгебраическая сумма делилась на 1001.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35451

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

15 простых натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Докажите, что разность этой прогрессии больше 30000.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60572

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть первое число Фибоначчи, делящееся на m, есть F_k. Докажите, что m | F_n тогда и только тогда, когда k | n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60722

[Теорема Клемента]

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что числа p и p + 2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда 4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 84 85 86 87 88 89 90 >> [Всего задач: 606]