Пусть p – простое число и  p > 5.  Докажите, что если разрешимо сравнение  x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то   p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  5n + 1.

   Решение

Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 606]      

Пусть p – простое число и  p > 3.
  а) Докажите, что если разрешимо сравнение  x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то  p ≡ 1 (mod 6).
  б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  6k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Пусть p – простое число и  p > 5.  Докажите, что если разрешимо сравнение  x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то   p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  5n + 1.

Прислать комментарий

Решение

Пусть натуральные числа m₁, m₂, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что если числа x₁, x₂, ..., x_n пробегают полные системы вычетов по модулям m₁, m₂, ..., m_n соответственно, то число  x = x₁m₂...m_n + m₁x₂m₃...m_n + ... + m₁m₂...m_n–1x_n  пробегает полную систему вычетов по модулю m₁m₂...m_n. Выведите отсюда китайскую теорему об остатках (см. задачу 60825).

Прислать комментарий

Решение

Пусть  (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что  degU (x) < deg Q(x),  deg V(x) < deg P(x)  и   P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).

Прислать комментарий

Решение

Назовём натуральное число ровным, если в его записи все цифры одинаковы (например: 4, 111, 999999).
Докажите, что любое n-значное число можно представить как сумму не более чем  n + 1  ровных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 606]