Каталог по темам

Задачи

Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 411]

Задача 105131

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116415

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Грибалко А.В.

На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45° вокруг любого из её концов.
Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом её концы поменялись местами?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64717

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что A + B = C и C > 1000 rad(ABC)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64744

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Два выпуклых многоугольника A₁A₂...A_n и B₁B₂...B_n (n ≥ 4) таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98142

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Васильев Н.Б.

Пусть n и b – натуральные числа. Через V(n, b) обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12, так что V(36, 2) = 5). Докажите, что V(n, b) < ⁿ/_b.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 411]